Der Impuls als Vektorgröße

Der Impuls eig­net sich sehr gut zur Ein­füh­rung der Vek­tor­rech­nung. Wir wol­len die Grund­la­gen an einem Bei­spiel erläu­tern:

Beim Schlitt­schuh­lau­fen sto­ßen Aaron (mA = 45 kg) und Benny (mB = 75 kg) im Punkt P(8|3) unelas­tisch zusam­men. Die Punkte A(3|3) und B(7|1) geben die Posi­tio­nen von Aaron und Benny genau eine Sekunde vor der Kol­li­sion wie­der. Gesucht ist die Geschwin­dig­keit \overrightarrow{v'} , mit der sich die bei­den nach dem Zusam­men­stoß gemein­sam wei­ter­be­we­gen. Eben­falls wol­len wir den Ver­lust an kine­ti­scher Ener­gie bei dem Zusam­men­stoß ermit­teln.

Im Punkt P kol­li­die­ren Aaron und Benny beim Eis­lau­fen. A und B sind die Posi­tio­nen der bei­den genau eine Sekunde vor der Kol­li­sion. \overrightarrow{v'} zeigt die Geschwin­dig­keit an, mit der sich die bei­den nach der Kol­li­sion gemein­sam wei­ter­be­we­gen.

Wir bestim­men die Geschwin­dig­kei­ten von Aaron und Benny: Aaron bewegt sich mit 5 m/s in x-Rich­tung und Benny mit 1 m/s in x-Rich­tung und 2 m/s in y-Rich­tung. Wir schrei­ben die Geschwin­dig­kei­ten als Vek­to­ren in einer Spalte auf. Die x-Rich­tung kommt nach oben, die y-Rich­tung nach unten:

\overrightarrow{v_A}=\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}m/s,\\[5px] \overrightarrow{v_B}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}m/s.

Die Impulse von Aaron und Benny bestim­men wir als Pro­dukt Masse mal Geschwin­dig­keit. Dazu mul­ti­pli­zie­ren wir die Masse jeweils mit den bei­den Koor­di­na­ten des Geschwin­dig­keits­vek­tors:

\overrightarrow{p_A}=45kg\cdot \begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}m/s=\begin{pmatrix}225\\0\end{pmatrix}kgm/s,\\[5px] \overrightarrow{p_B}=75kg\cdot \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}m/s=\begin{pmatrix}75\\150\end{pmatrix}kgm/s.

Wir addie­ren die Impulse von Aaron und Benny, indem wir für die bei­den Vek­to­ren jeweils die x- und die y-Koor­di­nate addie­ren:

\overrightarrow{p}=\overrightarrow{p_A}+\overrightarrow{p_A}=\\[5px] \begin{pmatrix}225\\0\end{pmatrix}kgm/s+\begin{pmatrix}75\\150\end{pmatrix}kgm/s\Rightarrow \\[5px]\overrightarrow{p}=\begin{pmatrix}300\\150\end{pmatrix}kgm/s.

Nach dem Zusam­men­stoß ist der Impuls \overrightarrow{p'} bei­der Jun­gen genau so groß wie vor dem Zusam­men­stoß. Damit kön­nen wir den Geschwin­dig­keits­vek­tor \overrightarrow{v'} nach dem Zusam­men­stoß berech­nen:

\overrightarrow{p'}=\overrightarrow{p}\\ (m_A+m_B)\cdot \overrightarrow{v'}=\overrightarrow{p}\quad |\cdot \frac{1}{m_A+m_B}\\ \overrightarrow{v'}=\frac{1}{m_A+m_B}\cdot \overrightarrow{p}\\[5px] \overrightarrow{v'}=\frac{1}{120kg}\cdot\begin{pmatrix}300\\150\end{pmatrix}kgm/s\\[5px] \overrightarrow{v'}=\begin{pmatrix}2{,}5\\1{,}25\end{pmatrix}m/s.

Den Betrag der Geschwin­dig­keit benö­ti­gen wir, um die kine­ti­sche Ener­gie zu berech­nen. Wir berech­nen den Betrag mit dem Pytha­go­ras. Der Betrag der Geschwin­dig­keit hat keine Rich­tungs­in­for­ma­tion mehr.

|\overrightarrow{v'}|=\sqrt {v_x^2+v_y^2}\\[5px] |\overrightarrow{v'}|=\sqrt {(2{,}5m/s)^2+(1{,}25m/s)^2}\\[5px] |\overrightarrow{v'}|\approx2{,}8m/s.

Wir berech­nen die Summe der kine­ti­schen Ener­gie vor dem Stoß, indem wir zunächst für Aaron und Benny die Beträge der Geschwin­dig­kei­ten ermit­teln und dann Ekin = 1/2 m v2 bestim­men.

Aaron: vA = 5 m/s => EA = 562,5 J,
Benny: vB = 2,24 m/s => EB = 187,5 J,
Gesamt: Ekin = 750 J.

Wir berech­nen die Summe der kine­ti­schen Ener­gie nach dem Stoß, indem wir mit dem Betrag von v' gemein­sam für Aaron und Benny E'kin = 1/2 (mA + mB) v'2 bestim­men.

Gesamt: E'kin = 1/2 (45kg + 75kg) (2,8m/s)2 = 468,8 J.

Es gehen also knapp 38% der kine­ti­schen Ener­gie beim Zusam­men­stoß ver­lo­ren.

Aufgabe zum unelastischen Zusammenstoß

Die Fahr­zeuge sto­ßen unelas­tisch zusam­men.
  1. Bestimme die vek­to­ri­el­len Impulse für die ein­zel­nen Fahr­zeuge und den vek­to­ri­el­len Gesamt­im­puls.
  2. Berechne den Geschwin­dig­keits­vek­tor nach dem Zusam­men­stoß und den Betrag die­ser Geschwin­dig­keit.
  3. Bestimme den pro­zen­tu­el­len Anteil der kine­ti­schen Ener­gie, der bei dem Auf­prall ver­lo­ren geht.
Vie­len Dank an Liv für die aus­führ­li­che Lösung!

Aufgabe zum elastischen Stoß beim Billard

Kugel 1 stößt auf die in Ruhe befind­li­che Kugel 2. Die Punkte bezeich­nen die Posi­tio­nen der Kugeln vor und nach der Kol­li­sion im zeit­li­chen Abstand Δt = 0,1 s.

Kugel 1 stößt elas­tisch auf die in Ruhe befind­li­che Kugel 2. In der Abbil­dung befin­den sich die Kugeln unmit­tel­bar vor der Kol­li­sion. Die Punkte bezeich­nen die Posi­tio­nen der Kugeln vor und nach der Kol­li­sion im zeit­li­chen Abstand Δt = 0,1 s. Solch eine Infor­ma­tion kann man gewin­nen, indem man die beweg­ten Kugeln mit einem Stro­bo­sko­plicht beleuch­tet und mit einer Kamera auf­zeich­net. Die Masse der Kugeln beträgt je 0,2 kg. Von der Roll­rei­bung soll abge­se­hen wer­den.

  1. Über­trage die Zeich­nung maß­stäb­lich ins Heft und notiere die Posi­tio­nen der Punkte so genau wie mög­lich.
  2. Bestimme durch mög­lichst genaues Able­sen in der Zeich­nung die Geschwin­dig­keits­vek­to­ren der Kugel 1 vor der Kol­li­sion sowie der Kugel 1 und der Kugel 2 jeweils nach der Kol­li­sion. Berechne dar­aus die Impulse vor, sowie nach der Kol­li­sion.
  3. Zeige rech­ne­risch, dass (im Rah­men der Able­se­ge­nau­ig­keit) der Gesamt­im­puls vor und nach der Kol­li­sion unver­än­dert bleibt.
  4. Begründe rech­ne­risch, dass sich (im Rah­men der Able­se­ge­nau­ig­keit) die kine­ti­sche Ener­gie bei der Kol­li­sion nicht ändert.

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