Extrempunkte: Notwendige und hinreichende Bedingung mit dem GTR

Ein­satz des GTR zur Bestim­mung von Extrem­punk­ten am Bei­spiel Auf­gabe Seite 163 Nr. 6 d)

f(x)=\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3 -12x+7

Funk­tion und Ablei­tung anle­gen: Gehe in das Gra­phik­menu 5 und lösche alle nicht benö­tig­ten Funk­tio­nen. Gib in Y1 die Funk­tion f(x) aus Auf­gabe 6 d) ein und in Y2 die Ablei­tung f'(x)=x^4 - x^2 -12 . Das V-Win­dow sollte -3 < x < 3 und -15 < y < 30 sein. Mit DRAW kannst du dir die Gra­phen der bei­den Funk­tio­nen anse­hen. Beachte ins­be­son­dere die Lage der Null­stel­len von f‘(x) (rot), ihren Vor­zei­chen­wech­sel sowie die Lage der Extrem­punkte von f(x) (blau).

Mit den bei­den Gra­phik­va­ria­blen Y1 und Y2 kannst du sehr prak­tisch die not­wen­di­gen und hin­rei­chen­den Bedin­gun­gen für Extrem­punkte aus­wer­ten. Gehe hierzu in das Menu 1. Mit Y1(1) berech­nest du den Funk­ti­ons­wert f(1), d.h. du hast x=1 in f(x) ein­ge­setzt. Mit Y2(1) berech­nest du ent­spre­chend die Ablei­tung f‘(1) an der Stelle x=1, d.h. du setzt x=1 in f‘(x) ein. Die Gra­phik­va­ria­blen Y1 und Y2 erreichst du mit der Taste VARS.

Not­wen­dige Bedin­gung für Extrem­stel­len: f‘(x) = 0, d.h. die Null­stel­len von f‘(x) sind gesucht.
Drü­cke OPTN F4 (CALC) F5 (Sol­veN). Drü­cke VARS F4 (Graph) F1 (Y) gefolgt von der Zahl 2. In der Ein­ga­be­zeile sollte dann ste­hen Sol­veN(Y2). Drü­cke EXE gefolgt von EXIT. Das Ergeb­nis ist {-2; 2}. Dies sind die Null­stel­len von f‘(x), denn f‘(x) war ja unter Y2 abge­legt. Also x = -2  v  x = 2.

Hin­rei­chende Bedin­gung: VZW von f‘(x). Drü­cke VARS F4 (GRAPH) F1 (Y) gefolgt von der Zahl 2 und in Klam­mern die Stelle x:
x = -2      Y2(-3) EXE ergibt 60   Y2(0) EXE ergibt -12
=>   VZW + → -  => HP
x = 2       Y2(0) EXE ergibt -12   Y2(3) EXE ergibt 60
=> VZW  - → +  => TP

Funk­ti­ons­wert berech­nen: Hier arbei­test du mit der Gra­phik­va­ria­blen Y1, die für f(x) steht:
x = -2      Y1(-2) EXE ergibt  409/15 F-D ergibt 27,27
=> HP(-2|27,27)
x = 2       Y1(2) EXE ergibt  -199/15 F-D ergibt -13,27
=> TP(2|-13,27)

3 a)                   f(x) = x² - 3x + 2

Not­wen­dige Bedin­gung für einen Extrem­punkt:
f‘(x) = 2x – 3 = 0

Gesucht sind also Null­stel­len von f‘(x), hier:   x = 1,5

Hin­rei­chende Bedin­gung für einen Extrem­punkt: Vor­zei­chen­wech­sel von f‘(x) bei

x = 1,5         f'(1) = -1;  f'(2) = 1    VZW   - → +   =>
                    f(1,5) = -0,25    =>     TP(1,5|-0,25)

3 b)              f(x) = 2x³ - 3x² - 12x - 6

Notw. Bed.  f'(x) = 6x² - 6x - 12 = 0   =>   x = - 1  v  x = 2

Hinr. Bed.   VZW von f’(x) bei

x = -1           f‘(-2) = 24;  f‘(0) = -12   VZW   + → -   =>
                    f(-1) = 1   =>    HP(-1|1)

x = 2            f‘(0) = -12;  f‘(3) = 24    VZW   - → +   =>
                    f(2) = -26    =>   TP(2|-26)

3 c)              f(x) = x4 - 4x + 1

Notw. Bed.  f'(x) = 4x³ - 4 = 0   =>   x = 1

Hinr. Bed.   VZW von f’(x) bei

x = 1            f‘(0) = -4;  f‘(2) = 28   VZW   - → +   =>
                    f(1) = -2    =>     TP(1|-2)

6 a)               f(x) = 1/2x² + 2x + 3

Notw. Bed.   f'(x) = x + 2 = 0   =>   x = -2

Hinr. Bed.     VZW von f’(x) bei

x = -2             f‘(-3) = -1;  f‘(-1) = 1    VZW   - → +   => 
                      f(-2) = 1    =>     TP(-2|1)

6 b)               f(x) = 1/2x4 + 16x - 1

Notw. Bed.   f'(x) = 2x³ + 16 = 0   =>   x = -2

Hinr. Bed.    VZW von f’(x) bei

x = -2            f‘(-3) = -38;  f‘(-1) = 14  VZW   - → +  =>
                     f(-2) = -25    =>     TP(-2|-25)

6 c)               f(x) = 1/4x³ - 3x + 2

Notw. Bed.   f'(x) = 3/4x² - 3 = 0   =>   x = - 2  v  x = 2

Hinr. Bed.    VZW von f’(x) bei

x = -2            f‘(-3) = 15/4;  f‘(0) = -3   VZW   + → -   =>
                    f(-2) = 6   =>    HP(-2|6)

x = 2         f‘(0) = -3;  f‘(3) = 15/4    VZW   - → +   =>
                f(2) = -2    =>    TP(2|2)

Schreibe einen Kommentar


The maximum upload file size: 4 MB.
You can upload: image, audio, video, document, spreadsheet, interactive, other.