Geometrische Deutungen von Vektoren

Hier gibt es eine Über­sicht der grund­le­gen­den Ope­ra­tio­nen mit Vek­to­ren. Wäh­rend der Rechen­weg mit Koor­di­na­ten eigent­lich selbst­er­klä­rend ist, müs­sen wir uns immer die geo­me­tri­sche Bedeu­tung der ein­zel­nen Vor­gänge klar­ma­chen.

Die­ser Bei­trag wird noch fort­ge­setzt ...
Alle Punkte des Drei­ecks wer­den glei­cher­ma­ßen ver­scho­ben. Die Pfeile stel­len jeweils iden­ti­sche Vek­to­ren \vec v dar.
Pfeile, die gleich lang sind und in die glei­che Rich­tung wei­sen reprä­sen­tie­ren iden­ti­sche Vek­to­ren.
Einen Vek­tor \vec w , der gleich lang und par­al­lel zu einem gege­be­nen Vek­tor \vec v ist, aber in die ent­ge­gen­ge­setzte Rich­tung weist, nennt man Gegen­vek­tor. Er macht eine Bewe­gung rück­gän­gig.
Der Null­vek­tor \vec o ist ein Pfeil ohne Länge und Rich­tung.
Der Orts­vek­tor \overrightarrow{OP} ver­bin­det den Ursprung mit dem Punkt P .
Der Ver­schie­bungs­vek­tor \overrightarrow{PQ} ver­bin­det zwei Punkte. Es gilt: \overrightarrow{PQ} = - \overrightarrow{QP} .
Das Nach­ein­an­der-Aus­füh­ren zweier Bewe­gun­gen kann man als Addi­tion zweier Vek­to­ren auf­fas­sen. Es gilt das Kom­mu­ta­tiv­ge­setz.
Der Sum­men­vek­tor ist die Dia­go­nale im Vek­tor­par­al­le­lo­gramm.
Man berech­net den Orts­vek­tor eines unbe­kann­ten Punk­tes Q mit Vek­tor­ket­ten aus einem bekann­ten Punkt P.
Die Sub­trak­tion wird als Addi­tion des Gegen­vek­tors defi­niert.
Der Dif­fe­renz­vek­tor ist eben­falls eine Dia­go­nale im Vek­tor­par­al­le­lo­gramm.
Mul­ti­pli­ziert man einen Vek­tor \vec v \ne \vec o mit einer reel­len Zahl k \ne 0 ent­steht ein par­al­le­ler Vek­tor. Die­ser Vek­tor ist gegen­über \vec v gestreckt oder gestaucht.
Es gilt das Dis­tri­bu­tiv­ge­setz.
Zur Probe auf Par­al­le­li­tät zweier Vek­to­ren \vec u, \vec v muss man nach­wei­sen, dass ein Streck­fak­tor k exis­tiert.
Vie­len Dank an Sisi für die bei­den Pho­tos
Vie­len Dank an Luke
Die Länge eines Vek­tor­pfei­les nennt man den Betrag des Vek­tors.
Der Ein­heits­vek­tor \vec{v_0} zeigt in die glei­che Rich­tung wie der Vek­tor \vec{v} , hat aber den Betrag 1 Län­gen­ein­heit.
Der Abstand zweier Punkte ist der Betrag des Ver­bin­dungs­vek­tors.
Die Gerade g wird durch ihren Stütz­vek­tor \overrightarrow{OA} und ihren Rich­tungs­vek­tor \vec v defi­niert.
Jeden Punkt X auf der Gera­den erreicht man als Vek­tor­kette vom Stütz­vek­tor \overrightarrow{OA} mit einer geeig­ne­ten Stre­ckung t\cdot \vec v des Rich­tungs­vek­tors.
Häu­fig wird eine Gerade durch zwei Punkte A und B fest­ge­legt.
Punkt­probe: Der Punkt P liegt genau dann auf der Gera­den g , wenn das LGS \overrightarrow{OA}+t\cdot \vec v= \overrightarrow{OP} in allen Dimen­sio­nen auf­geht.
Spur­punkte sind die Schnitt­punkte einer Gera­den mit den Ebe­nen des Koor­di­na­ten­sys­tems. Man erhält die Koor­di­na­ten der Spur­punkte, indem man die jeweils andere Koor­di­nate gleich 0 setzt.

Gege­ben sind zwei Gera­den­glei­chun­gen:

g: \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{u}\\ h: \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OB}+s\cdot \overrightarrow{v}
Zwei Gera­den sind iden­tisch, wenn die Rich­tungs­vek­to­ren par­al­lel zuein­an­der sind und einer der Stütz­punkte in der jeweils ande­ren Gerade liegt.
Zwei Gera­den sind par­al­lel und ver­schie­den, wenn einer der Stütz­punkte nicht in der jeweils ande­ren Gerade liegt.
Zwei Gera­den haben einen Schnitt­punkt, wenn das LGS \overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{OB}+s\cdot \overrightarrow{v} in allen drei Dimen­sio­nen auf­geht.
Zwei Gera­den nennt man wind­schief, wenn das LGS \overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{OB}+s\cdot \overrightarrow{v} keine Lösung hat.
Um den Abstand eines exter­nen Punk­tes P von einer Gera­den zu bestim­men, sucht man den Lot­fuß­punkt F. Der Ver­bin­dungs­vek­tor von P zu F steht ortho­go­nal zu dem Rich­tungs­vek­tor.

Rechenbeispiel

Gege­ben sei der Punkt P(10|5|7) und die Gerade

g: \overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}-2\\1\\7\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\1\\-3\end{pmatrix}.

Gesucht ist der Abstand von P zu g.

Schritt 1: Orts­vek­tor zum Fuß­punkt

\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}-2+4r\\1+r\\7-3r\end{pmatrix}

Schritt 2: Dif­fe­renz­vek­tor zwi­schen P und F.

\overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}-12+4r\\-4+r\\-3r\end{pmatrix}

Schritt 3: Ortho­go­na­li­täts­be­din­gung

\overrightarrow{PF}*\vec v =0\\ \begin{pmatrix}-12+4r\\-4+r\\-3r\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 4\\1\\-3\end{pmatrix}=0\\ -48+16r-4+r+9r=0\\ -52+26r=0\\ r=2.

Schritt 4: Fuß­punkt und Abstand bestim­men. Wir set­zen r = 2 in \overrightarrow {OF} und \overrightarrow {PF} ein:

\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}-2+4\cdot 2\\1+2\\7-3\cdot 2\end{pmatrix} \Rightarrow\\ F(6|3|1).
\overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}-12+4\cdot 2\\-4+2\\-3\cdot 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-2\\-6\end{pmatrix}\Rightarrow\\ d=\left|\overrightarrow{PF}\right|=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+(-6)^2}\\ =\sqrt{56}\approx 7{,}48\text{ LE}

Geschafft!!

Um den Abstand zweier wind­schie­fer Gera­den zu bestim­men, muss man zwei Punkte G und H so wäh­len, dass ihr Ver­bin­dungs­vek­tor gleich­zei­tig ortho­go­nal zu bei­den Rich­tungs­vek­to­ren steht.
Vie­len Dank an Henry für das Rechen­bei­spiel!

18 Kommentare

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Vie­len Dank an Sisi und Luke für die Lösun­gen. Ich habe sie im Bei­trag ein­ge­ar­bei­tet, damit sie für die Nach­welt erhal­ten blei­ben. Die Kom­men­tare ver­schwin­den nach eini­gen Wochen wie­der.

Lie­ber Herr Fuchs, Lie­ber Kurs,
ich bin gerade dabei auf der S. 302 die Nr. 12 zu machen. Dazu muss ich ja mit­hilfe der Ket­ten­re­gel zunächst die Ablei­tung bil­den und diese in der not­wen­di­gen Bedin­gung gleich Null set­zen. Aus irgend­wel­chen Grün­den gibt das aber keine Lösung. Ist das beab­sich­tigt oder habe ich irgend­ei­nen Feh­ler z.B. bei der Ket­ten­re­gel gemacht?
Vie­len Dank für ihre/eure Hilfe

Hallo Caro­lin, du hasst alles rich­tig gemacht. Nur der Term (18t - 54) gehört in Klam­mern gesetzt, oder als Zäh­ler in den Bruch.
Da die Wur­zel im Nen­ner nicht Null oder nega­tiv sein kann, kann allein der Zäh­ler gleich Null wer­den. Dar­aus folgt die Lösung t = -3.

Bei der b) soll ja bei t -3 raus­kom­men, aller­dings hab ich zwei Sieb­tel raus. Könnte mir jemand sagen, wo in mei­ner Rech­nung der Feh­ler ist? Danke

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